Simetria a la naturalesa

Hi ha alguna cosa més simètrica que la naturalesa? Què penseu?

Fixeu-vos per exemple en un floc de neu:

Jo crec que no, que la naturales és quasi completament simètrica. Començant per nosaltres.       L´exterior del cos humà es evidentment simètric (l´interior és altre cantar). Ja Leonardo Da Vinci ho va observar:

Però, no es queda ací la cosa. Al món vegetal també trobem multitud d´exemples on la naturalesa ens mostra amb tota la seua grandesa la simetria de molts elements:

I què dir del món animal? També trobem multitud d´espècies on podem observar simetria: insectes, felins, etc.:

Podríem dir que això és simplement una mera aparença, que es limita a la part exterior. No obstant això, estaríem lluny de la realitat, perquè la part més fonamental de la naturalesa, la més simple, la més ínfima, la que ens indica cóm s´ordenen els àtoms per a formar la matèria també utilitza la simetria:

També al ADN:

En definitiva, quasi qualsevol cosa a la naturalesa que se´ns ocórrega tindrà un component on la simetria estarà present. No ho dubteu, la naturalesa és eminentment SIMÈTRICA.

Simetria als mosaics, frisos i ornaments

Parlar de mosaics, frisos i ornamentes, en realitat és parlar quasi de la mateixa cosa: de simetries il·limitades planes. Els mosaics cobrixen  el pla, però els frisos estan limitats pels vores. A més els ornaments poden interpretar-se com frisos interromputs, aplicats a objectes finits, d´ús comú com ara barrets, vasos, collars, etc.

Moltes cultures, al llarg de tota la història han utilitzat aquests elements per a decorar els seus utensilis, la roba, les construccions i tot allò que estimaven. Per exemple, la cultura Zaire del poble bakuba aprecia molt els frisos i ornaments, especialment aquells que són complicats. Com podem observar seguidament:

Però si hi ha una cultura on es representen els frisos, mosaics i ornaments de manera sublim és a la cultura musulmana. Les figures geomètriques es combinen per a formar vertaderes obres d´art.  Molts exemples representatius els podem trobar  a l´Alhambra de Granada. Com el següent:

També es van fer grans obres d´art d´estil gòtic i renaixentista amb mosaics:

Una persona molt influent  en esta matèria on conviuen art, simetria i matemàtiques és Maurits Cornelius Escher (1898-1972). Algunes obres seues són:

Per a conèixer millor a aquest geni, que té molta importància en grups i simetries, visiteu:

http://www.mcescher.com/

Simetria helicoïdal

Una hèlice és una corba matemàtica tridimensional que es caracteritza per una propietat elemental: l´ angle que forma la seua tangent amb una determinada recta (anomenada eix de         l´hèlice) és sempre el mateix. Quan es té en compte la superfície que uneix la hèlice amb el seu eix, parlem de l´helicoide. Si l´hèlice s´enrotlla al voltant d´un cilindre, l´objecte resultant és simètric i molt conegut perquè es troba a multitud d´objectes com les columnes, els caragols etc.

Les hèlices poden ser hèlices arrotllarse a la dreta o a la esquerra i per tant les seues imatges no coincideixen. No obstant, de vegades s´aconsegueix que s´arrotllen al voltant del mateix eix dues hèlices, de manera que s´obtenen curioses estructures:

(Doble escalera al Vaticano)

(Doble escalera al Château de Chambord)

Si ens fixem, a la fi, la simetria helicoïdal és una combinació tridimensional de translacions segons un eix i rotacions amb un cert angle, com ja hem vist anteriorment.

Teniu més exemples de simetria helicoïdal?

Simetria i cine

Com ja hem parlat en altres ocasions, la simetria no solament es troba en matemàtiques. En aquesta entrada farem referència a la simetria al cine, tant en la imatge, com en les històries.

Al cine, s´utilitza la simetria en les escenes per a crear intranquil·litat o fixar l´atenció en un objecte determinat, ja que les imatges simètriques tenen la peculiaritat de transmetre l´espai buit.

Molts directors de cine han introduït a les seues pel·lícules escenes d´aquest tipus, per exemple Alfred Hitchcock ho feia per a transmetre inquietud a les històries. Però el director  per excel·lència que usa aquest recurs de manera quasi obsessiva és Stanley Kubrick com podem observar seguidament:

No obstant això, la simetria a banda de en les imatges també es troba implícita de vegades a les històries. Al següent vídeo podreu observar les primeres i últimes escenes d´algunes pel·lícules per observar cóm es tanca el cercle de les històries i es connecten els principis amb els finals. 

https://www.youtube.com/watch?v=6pMxLGgOzH8

Treballar la simetria amb applets

Podem aprofitar que la simetria és una eina molt visual, per a treballar-la amb diferents recursos que tenim a l´abast a internet.

Uns d´aquests recursos són els applets. El que vull que conegueu ara és aquest:

Podeu trobar-lo en el següent enllaç:

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_298_g_4_t_3.html?open=activities&from=search.html?qt=simetria%20axial

Es tracta d´una aplicació molt completa per a treballar la simetria axial i concretament les reflexions i translacions.

Permet moure i girar l´eixe de simetria, canviar de forma i modificar els colors de la figura de partida, construir la teua pròpia figura, etc. 

És prou fàcil d´utilitzar i a més té una guia amb instruccions per a treballar el concepte de simetria i obtenir algunes conclusions importants.

Un altre exemple també molt visual és aquest elaborat amb Geogebra:

Podeu trobar-lo en el següent enllaç:

http://www.geogebra.org/m/948317

Aquest ofereix quatre figures i les seues simètriques i permet a l´usuari fer modificacions en les figures i observar cóm afecten aquestes modificacions a les simètriques respectives.

Ambdós són recursos eficients i interesants que poden servir per a treballar la simetria de manera interactiva i visual fent-la atractiva.

SIMETRIA I LITERATURA

La simetria no solament està present a la geometria, o parlant més en general, a les matemàtiques. També podem trobar simetria en altres àrees del coneixement i de l´art. Hui ens centrarem en la LITERATURA.

No parlarem ara d´una simetria formal, definida com aquella que mantenia les distàncies encara que la figura fora girada, reflectida o traslladada, sino que la entenem d´una manera més intuïtiva en la que potser hi haja una part central o eixe, una part esquerra i una altra dreta, o bé una superior i una altra inferior, que són similars.

De segur, que quasi tothom ha escoltat parlar d´unes figures literàries anomenades palíndroms. Doncs bé, darrere d´aquestes figures també es troba la simetria.

Però, què és un palíndrom?

Un palíndrom és una paraula o expressió que es pot llegir d´esquerra a dreta, o de dreta a esquerra, sense variar res. Alguns exemples són:

• Rossor
• rallar
• Si va la tropa cívica, porta l'avís
• Àtona, la gralla, allarga la nota
•  Argentina, la lluna anul·la la nit negra (de Carles Mani Barneda, musicat per Llorenç Balsach)
• A una nena nua llepa-li la pell, llepa-li la pell a una nena nua. (de J. Ruiz i Solanes)

Segur que coneixeu algú més. Qual? 

Simetria en 3D: Poliedres Regulars

Anteriorment hem vist  la simetria que es pot ver al pla, però ara volem anar un pas més enllà i estudiar la simetria en 3D als poliedres regulars.

En principi, no serà una tasca molt complicada perquè polígons regulars hi ha molts, de fet, infinits. Però, poliedres regulars només hi ha 5, els anomenats cossos platònics, que són el tetraedre, el hexaedre o cub, el octaedre, el dodecaedre i el icosaedre.

(Amb el desenvolupament podeu intentar construir-los)

Començarem per el més senzill a simple vista, el tetraedre. Aquest poliedre té 24 simetries possibles ja que té divers eixes al voltant dels quals pot girar.

Quant al cub, aquest poliedre posseeix un total de 48 simetries possibles. 

Pel que fa al octaedre, també té 48 simetries possibles ja que el cub i el octaedre són figures duals (i això significa que tenen el mateix nombre de simetries).

També són duals entre sí les dues figures que resten : el dodecaedre i el icosaedre. Sabríeu dir quantes simetries tenen?